• 1 Voraussetzungen

    Voraussetzungen

    Du hast bereits gelernt, wie man quadratische Gleichungen der Normalform x² + px + q = 0 mit Hilfe der pq - Formel lösen kann. Solltest du dir dabei noch nicht sicher sein, findest du hier Möglichkeiten zum Auffrischen bzw. Üben.

    Auch solltest du quadratische Gleichungen der Standardform ax² + bx + c = 0 lösen können. Dies kann entweder über die Mitternachtsformel (ABC-Formel) oder über das Umformen (Dividieren durch a) in die Normalform geschehen.

    Alles klar, dann lass uns mit Schritt 2 weiter machen!

  • 2 Erforschung

    Forschungsauftrag 1

    Löse die folgenden Gleichungen. Trage die Lösungen x1 und x2, so wie die Koeffizienten p und q und eine Tabelle ein.

    Was fällt dir auf?

    a) x² - 8x + 15 = 0

    b) x² + 9x + 14 = 0

    c) x² - 5X -14 = 0

     

    Hier geht´s zur Lösung.

    Forschungsauftrag 2

     

    Die Gleichung (x - 3)(x - 5) = 0 hat die Lösungen 3 und 5.

    Durch Ausmultiplizieren kann man die Gleichung in die Form x² + px + q = 0 bringen.

    Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Lösungen 3 und 5 und den Koeffizienten p und q?

     

    Hier geht´s zur Lösung.

    Forschungsauftrag 3

    Die Erkenntnisse aus Auftrag 2 wollen wir nun verallgemeinern.

    Bestimme die Lösungen der Gleichung (x - x1)(x - x2) = 0.

    Bringe die Gleichung durch Ausmultiplizieren in die Form x² + px + q = 0.

    Welcher Zusammenhang besteht zwischen p und q?

     

    Hier geht´s zur Lösung.

  • 3 Der Satz

    Satz von Vieta

     

    Satz von Vieta

    Wenn eine quadratische Gleichung x² + px + q = 0 die Lösungen x1 und x2 hat, dann gilt:

    x1 + x2 = - p  

    x1 * x2 = q

     

    Mit dem Satz kann man schnell die Probe durchführen.

    Für ganzzahlige Lösungen ist der Satz auch geeignet um diese schnell zu finden.

     

  • 4 Francois Vieta

    Francois Vieta

    Francois Vieta

     

    Francois Vieta

    1540 - 1603

     

    Hier findest du weitere Informationen.

  • 5 Beweis

    Beweis des Satzes von Vieta

     

    Beweise unter Verwendung der pq-Formel die Behauptungen:

    a) x1 * x2 = q

    b) x1 + x2 = -p

     

    Hier geht´s zu den Lösungen.

     

  • 6 Anwendung

    Lösung von quadratischen Gleichungen

    Löse die quadratischen Gleichungen mit dem Satz von Vieta.

    Probiere dazu einfache Lösungen aus.

    a) x² + 7x + 12 = 12

     

     

     

    x1

    3

    - 3

    x2

    4

    - 4

    x1 + x2

    + 7

    - 7

    - p

    - 7

    - 7

    x1 * x2

    12

    12

    q

    12

    12

     

    b) x² + 9x +18 = 0

     

     

    x1

    - 3

    x2

    - 6

    x1 + x2

    - 9

    - p

    - 9

    x1 * x2

    18

    q

    18

     

    c) x² - 4x + 4 = 0

     

     

    x1

    2

    x2

    2

    x1 + x2

    4

    - p

    4

    x1 * x2

    4

    q

    4

     

    d) x² - 6x + 8 = 0

     

     

    x1

    2

    x2

    4

    x1 + x2

    6

    - p

    6

    x1 * x2

    8

    q

    8

     

    e) x² -13x + 30 = 0

     

     

    x1

    3

    x2

    10

    x1 + x2

    13

    - p

    13

    x1 * x2

    30

    q

    30

     

    f) x² + 2x -80 = 0

     

     

    x1

    8

    x2

    - 10

    x1 + x2

    -2

    - p

    - 2

    x1 * x2

    - 80

    q

    - 80

     

    Lösen von quadratischen Gleichungen

    Löse die quadratischen Gleichungen mit dem Satz von Vieta. Probiere dazu einfache Lösungen aus.

    a) x² + 7x + 12 = 12

    b) x² + 9x +18 = 0

    c) x² - 4x + 4 = 0

    d) x² - 6x + 8 = 0

    e) x² -13x + 30 = 0

    f) x² + 2x -80 = 0

     

    Hier geht´s zu den Lösungen.

    Probe mit dem Satz von Vieta

    Überprüfe mithilfe des Satzes von Vieta ob die angegebenen Lösungen richtig sind.

     

    a) x² + 2x - 8 = 0           x1= 2  ;  x2 = - 4

    b) 0,5x² + 2x - 6 = 0       x1= 2  ;  x2 = - 6

    c) 4x² - 8x = 20              x1= 2  ;  x2 = - 4

     

    Hier geht´s zu den Lösungen.

     

     

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