[ Dieser Lernpfad wird aktuell erstellt und bearbeitet]

Einleitung

Mit diesem Lernpfad lernst du die Grundlagen für das Aufstellen und Angeben von Ebenen in der jeweiligen Form. Außerdem werden noch Rechnungen z.B. für die Punktprobe, die Umwandlung in eine andere Form und den Schnitt von Ebenen gezeigt. Am Ende des Lernpfades kannst du dich an einigen Übungsaufgaben überprüfen, ob du alles verstanden hast.

Voraussetzungen:

Für die Bearbeitung des Lernpfades werden die folgenden Inhalte benötigt:

• 3D-Koordinatensystem
• Vektoren, Ortsvektoren
• Normalenvektor
• Paramterform von Geraden

Inhaltsverzeichnis:

1. Startseite (hier)
2. Die Parameterform von Ebenen
3. Die Normalenform von Ebenen
4. Die Koordinatenform von Ebenen
5. Übungen

Hier ein paar Hinweis zur Arbeit und dem Umgang mit Ebenen in der Mathematik

1. Das Rechnen und Arbeiten mit Ebenen ist nur im 3-Dimensionalen wirklich sinnvoll. Im 2-Dimensionalen gibt es nur eine Ebene.

3D-Koordinatensystem                                    2D-Koordinatensystem

2. Ebenen sind unendlich groß in ihrer Ausdehnung (genau wie Geraden). Nur in Grafiken werden sie oft als Rechtecke oder Parallelogramme dargestellt.

3. Ähnlich wie bei Geraden, wird eine Ebene durch unendliche viele Punkte beschrieben, die eine Fläche bilden. Es gibt verschiedene Möglichkeiten alle Punkte einer Ebene durch eine Ebenengleichung zu beschreiben.

Ebenen können durch folgende Gleichungsformen beschrieben werden:

Parameterform                        Normalenformen                        Koordinatenform

(Es gibt noch mehr Formen)

4. Ein und die selbe Ebene kann durch alle 3 Formen beschrieben werden. Es ist möglich aus einer Ebenenform jede andere zu bestimmen. Das Umwandeln der Ebenengleichungen lernst du hier auch.

5. Warum gibt es mehrere Gleichungsformen?

Weil es unterschiedliche Voraussetzungen geben kann, um eine Ebene zu erstellen: z.B. 3 Punkte, 1 Gerade und 1 Punkt, 2 Geraden, ...

Je nach dem ist es einfacher eine der Gleichungsformen aufzustellen. Dazu in den jeweiligen Kapiteln mit Beispielen mehr.

6. [...]

1. Aufstellen einer Ebene in Parameterform

Das Aufstellen erfolgt in gleicher Art und Weise, wie Geraden in Parameterform. Deshalb kann man von einer solchen Geraden ausgehend beginnen.

1.1 Gegeben ist eine Gerade in Paramterform. Sie wird beschrieben durch den Startvektor s und dem Richtungsvektor r.

Beispiel:

$$g: \vec{x} = \vec{s} + r \cdot \vec{u}$$

1.2 Es wird ein weitere Richtungsvektor z hinzugefügt. Dieser muss linear unabhängig (kein Vielfaches) vom ersten Richtungsvektor r sein, um eine Ebene aufzuspannen.

[Bild: Ebene Parametergleichung Zeichnung.png]
 

Beispiel: [mit einem richtigen Richtungsvektor und einem falschen Richtungsvektor]

1.3 Die Parameterform kann nun aufgestellt werden als eine Linearkombination der 3 Vektoren (1 Startvektor, 2 Richtungsvektoren).

$$E: \vec{x}=\vec{s} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$$

Genauso wie bei Geraden in der Parameterform, zeigt der Startvektor s auf den Punkt, von dem aus die Ebene "startet". Den zugehörigen Punkt zum Ortsvektor s kann man als Ursprung der Ebene auffassen. Mit dem Vielfachen (durch die beiden Variblen r und t) der Vektoren u und v werden dann alle Ortsvektoren zu den Punkten der Ebene beschrieben (ähnlich wie bei den Geraden).

2. Punktprobe mit der Parameterform

2.1 Punkt einer Ebene angeben

Einen beliebigen Punkt einer Ebene anzugeben ist sehr einfach.

- Man muss lediglich für die Variablen r und t beliebige (reelle) Zahlen einsetzen.

- Anschließend berechnet man den Ortsvektor x und gibt den zugehörigen Punkt an.7

Beispiel:

r = ...

s = ...

[...]

2.2 Test, ob ein gegebener Punkt in einer Ebene liegt (der häufigere Fall!)

- Der Ortsvektor zu dem gegebenen Punkt wird gebildet.

- Dies sei nun der Vektor x.

- Anschließend wird dieser Vektor in die Ebenengleichung eingesetzt.

- Es entsteht ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichung und den 2 unbekannten Variablen r und t.

- Jetzt muss dieses überbestimmte (da mehr Gleichungen als Unbekannte) lineare Gleichungssystem gelöst werden.

Was sagt das Ergebnis des Gleichungssystems aus?

-> Gibt es eine Lösung für r und t, so liegt der Punkt in der Ebene.

-> Gibt es keine Lösung für r und t, so liegt der Punkt nicht in der Ebene.

Beispiel:

 [...]

1. Aufstellen einer Ebene in der Normalenform

2. Punktprobe mit der Normalenform

1. Aufstellen einer Ebene in Koordinatenform

2. Punktprobe mit der Koordinatenform

Hier werden die verschiedenen Wege zur Umwandlung der Ebenengleichungen beschrieben

Übersicht:

1. Parameterform -> Normalform
2. Parameterform -> Koordinatenform
3. Normalform -> Parameterform
4. Normalform -> Koordinatenform
5. Koordinatenform -> Parameterform
6. Koordinatenform -> Normalform

1. Parameterform -> Normalform

[...]

2. Parameterform -> Koordinatenform

[...]

3. Normalform -> Parameterform

[...]

4. Normalform -> Koordinatenform

[...]

5. Koordinatenform -> Parameterform

[...]

6. Koordinatenform -> Normalform

[...]

Übungen zum Aufstellen von Ebenengleichungen