• Einstieg

    Ortskurve der Wendepunkte

    Aufgabe

    Liebe Schülerinnen und Schüler,

    unten seht ihr den blauen Graphen der Funktionenschar fk(x)=(k-ex)2 für ein bestimmtes k (k>0).

    Auf dem Graphen seht ihr den Wendepunkt WP.

    Wenn ihr das k verändert, beobachtet ihr, dass der Wendepunkt WP entlang des grünen Graphen, der sogenannten Ortskurve der Wendepunkte, verläuft. Die Funktionsgleichung der Ortskurve ist y=e2x. Wie man auf die Funktionsgleichung kommt (übrigens häufig eine Abituraufgabe), erfahrt ihr im nächsten Reiter.

    .. verwendet JSXGraph

  • Rezept

    Rezept zur Bestimmung der Ortskurve

    Wie man die Funktionsgleichung der Ortskurve findet, kann man sich ganz leicht am Eingangsbeispiel überlegen:

    Berechne zuerst die Wendepunkte der Funktion:

    Eine einfache Rechnung (zweite Ableitung gleich Null setzen, Kandidaten anhand der dritten Ableitung überprüfen und schließlich in die Funktionsgleichung einsetzen für den y-Wert) ergibt:

    $\text{WP}\left(\text{ln}\left(\frac{\text{k}}{2}\right)\middle|\frac{\text{k}^2}{4}\right)$. Das heißt: $\text{x}\textbf{=}\text{ln}\left(\frac{\text{k}}{2}\right)$ und $\text{y}\textbf{=}\frac{\text{k}^2}{4}$. Die zweite Gleichung sieht doch schon fast wie eine Funktionsgleichung aus. Es steht nur ein k, statt ein x, auf der rechten Seite. Wie lösen wir das Problem?

    Logisch: Wir haben doch noch die Gleichung $\text{x}\textbf{=}\text{ln}\left(\frac{\text{k}}{2}\right)$. Wenn wir diese Gleichung nach k auflösen und dann in die y-Gleichung einsetzen, dann sind wir fertig: $\text{x}\textbf{=}\text{ln}(\frac{\text{k}}{2})  \textbf{⇔}  \text{k}\textbf{=}2\text{e}^\text{x}  \textbf{⇒}  \text{y}\textbf{=}\frac{{(2{\text{e}}^\text{x})}^2}{4}  \textbf{⇔}  \text{y}\textbf{=}\text{e}^{2\text{x}}$. Das ist schon alles.

    Hier nochmal allgemein die Schritte:

    1. Bestimme die Extrem- bzw. die Wendepunkte in Abhängigkeit des Parameters der Funktion.
    2. Löse den x-Wert des jeweiligen Extrem- bzw. Wendepunkts nach dem Parameter auf.
    3. Setze die im vorherigen Schritt gewonnene Gleichung in die Gleichung für den y-Wert des jeweiligen Punktes ein.
  • zweites Beispiel

    Ortskurve der Tiefpunkte

    Aufgabe

    Im zweiten Beispiel seht ihr den blauen Graphen der Funktion fk(x)=x²+kx+1 (k>0). Wenn ihr mit dem Schieberegler k verändert, seht ihr, dass der Tiefpunkt TP entlang der grünen Ortskurve mit der Funktionsgleichung y=-x²+1 verläuft.

    .. verwendet JSXGraph

  • drittes Beispiel

    Ortskurve der Hochpunkte

    Aufgabe

    Im dritten Beispiel seht ihr den blauen Graphen der Funktion fa(x)=x³-3a²x (a>0). Wenn ihr mit dem Schieberegler a verändert, seht ihr, dass der Hochpunkt HP entlang der grünen Ortskurve mit der Funktionsgleichung y=-2x³ verläuft.

    .. verwendet JSXGraph

  • Lernvideo

    Lernvideo zu Ortskurven

    In diesem Lernvideo von Flip the Classroom wird sehr anschaulich und ausführlich erklärt, was eine Ortskurve ist, und wie man sie bestimmt.

  • Song

    Mathe-Song Ortskurve

    In diesem Mathe-Song von DorFuchs wird die Bestimmung der Ortskurve gesungen. Der Song eignet sich gut zum Nachsingen und Auswendiglernen.

  • Übungen

    Lückentext zu Ortskurven

    .. verwendet das Quiz-Skript Framework

    Test Zuordnung Funktion Ortskurve

    .. verwendet das Quiz-Skript Framework

  • Lehrerinfos